1. Caos e complessità, paradigmi per il naturale e l'artificiale nell'elettroacustica.

Risultati recenti dell'evoluzione della fisica (precisamente della meccanica razionale e della meccanica statistica) degli ultimi venti anni hanno ultimato probabilmente in modo definitivo quel lavoro di distruzione della visione Laplaciana della realtà fisica come "universo-orologio" e del mondo come retto da perfette e perfettamente conoscibili leggi d'evoluzione, iniziato alla fine del secolo scorso. Se la meccanica quantistica introduceva il caso in un modo per così dire "esterno" e "a priori", l'evoluzione della teoria dei sistemi dinamici lo scopriva "a posteriori" dentro vecchie teorie, là dove era sempre stato, passando inosservato o quasi. Naturalmente il caso quantistico e quello "deterministico" dei sistemi caotici sono due "casi" diversi. Il primo è posto come un attributo della realtà fisica "in sé", il secondo continua ad essere frutto, classicamente, della finitezza dei nostri mezzi. Ma ciò che risulta oltremodo significativo è che le conseguenze di questa finitezza sono assai di più vasta portata di quanto si potesse a prima vista sospettare: essa finisce per impedirci in linea di principio previsioni affidabili sul comportamento della realtà fisica, anche la più banale, o meglio confina queste previsioni entro un orizzonte temporale ristretto, spesso sorprendentemente ristretto. Il Caos, in questa significato "artificiale" della teoria delle reti elettriche e della teoria dei sistemi, è appunto l'esistenza di un orizzonte finito di predicibilità dei sistemi, effetto di una "sensibilità" alle condizioni iniziali che amplifica l'indeterminazione iniziale, per quanto piccola essa sia, sulla conoscenza del sistema. I sistemi non sono dunque "buoni", non conservano, ma invece amplificano gli errori.

Se l'esplosione teorica del Caos risale a solo una ventina d'anni, non che mancassero precedenti più o meno inascoltati, né questo rovesciamento di fronte è frutto di un colpo di fulmine improvviso. Già nei lavori di Poincaré a cavallo del secolo troviamo anticipazioni profonde, ma grazie a questo processo di accumulazione conoscitiva (al quale non sono estranei i calcolatori e il continuo progresso delle loro capacità di calcolo) quella che va definitivamente nel cestino è l’idea che il mondo naturale sia perfettamente controllabile e prevedibile con gli strumenti della matematica.

Ma non è solo questo il terreno sul quale si deve registrare una vertiginosa caduta di illusioni. Anche sul piano della ricerca di fondamenta solide per il pensiero matematico, sul terreno della critica dei fondamenti della matematica, si deve registrare il colpo mortale che il teorema di Goedel impartisce al programma rigoroso di Hilbert, al tentativo cioè di rendere "automatici", pienamente e perfettamente esplicitabili in termini finiti, i meccanismi deduttivi e produttivi della matematica. Questo tentativo applicato sia pure alla sola aritmetica fallisce non per ragioni perché nessuno ci riesce ma per ragioni di principio. La costruzione rigorosa della matematica è semplicemente impossibile, e questa è una verità dimostrabile con tutto il rigore necessario ai teoremi della matematica.

La Forma, il Metodo, non è così più separabile dal Contenuto, ma da esso dipende. Siamo quindi fortunatamente costretti a riabilitare l'uso del plurale, a dover parlare "dei metodi delle scienza", piuttosto che del "metodo scientifico". Nessuna verità è conquistata una volta per tutte. Altre verità ci costringeranno a metterla in discussione, a reinterpretarla, allargandone o restringendone il significato, o addirittura negandola. E il cammino della verità resta complicato e munito di un' arbitrarietà eliminabile, solo talvolta, e solo a posteriori: nessuno è abilitato una volta per tutte alla produzione di Verità Scientifiche, le quali continuano a restare frutto del sudore della fronte di uomini di scienza in carne ed ossa. Quello che era stato immaginato, peraltro senza dimostrazione alcuna, come un cammino magnifico e progressivo, procedente in linea retta per allargamenti ed inclusioni, somiglia di più a un ragnatela di percorsi, talvolta molto complessi, e talvolta addirittura disgiunti. Con il che, abbiamo un non trascurabile vantaggio: che la scienza "immaginata" dagli scienziati e dagli epistemologi comincia a somigliare alla scienza realmente praticata, si inquina della sua stessa storia, e chissà che un giorno non finisca proprio per coincidervi.

Come per il Caos, anche la complessità ci si presenta oggi come un concetto emergente e denso di significato. "Complesso" indica qualcosa di molto articolato, di composto di molte parti interagenti tra loro, certo in maniera non banale, in modo cioè che le parti abbiano tutte un certo grado di autonomia l’una dall’altra, ma siano anche dipendenti l'una dall'altra. C’è un nesso tra complessità e Caos? Il caos è forse nient'altro che il frutto della complessità?

La risposta, come sappiamo, è No. Sono caotici anche sistemi piuttosto semplici, anche molto semplici, come un pendolo, ad esempio. Viceversa, non è detto che un sistema complesso mostri necessariamente un comportamento caotico. Quello che però avviene sicuramente in un sistema caotico è che se si esplora lo spazio delle possibili evoluzioni a partire da un insieme ristretto e "semplice" di possibilità iniziali, si ottiene qualcosa di molto complesso, cioè di dotato di molti dettagli e popolato di molte parti e alternative. E' da lì che nasce appunto, l'impossibilità di una previsione. L'universo delle possibili evoluzioni diventa sempre più complesso, man mano che ci si spinge in là con il tempo.

Vale la pena di domandarsi, a questo punto, dove e se tutto questo abbia a che fare con la musica.

Senza alcuna pretesa di perfezione, nemmeno per grandi linee, si vuole solo riferire la visione delle cose di qualcuno che, come me, si sta occupando di musica generata elettronicamente dal lato dello sviluppo tecnico, non certo da quello della composizione. Altre cose, immagino, e forse più interessanti, avranno da dire i compositori.

Si sa che una delle caratteristiche riferite della musica elettronica, e soprattutto ai suoi suoni, è quello del carattere "artificiale" di ciò che produce. Si tratta di un' accusa in gran parte ingiustificata, anche se dotata di fondamento. E' immotivata perché, se è vero che i suoni che fuoriescono dall'armamentario elettronico della musica elettroacustica sono spesso, se non sempre, "artificiali" all'ascolto, è pur vero che se si parla di "opere", di musica, e non di vagiti di laboratorio, queste passano per la mediazione del compositore il quale, se riesce nella sua operazione compositiva, sa combinare questi suoni "artificiali" in un qualcosa certamente di "artefatto", ma di valore musicale. Quindi l'ingrediente, per così dire, passa in secondo piano. Se non lo fa, è che forse l'operazione compositiva non è riuscita o lo è solo in parte, a meno che il carattere "artificiale" dei suoni non sia espressamente utilizzato a fini dell’espressione. Sto usando qui il termine "artificiale" e "naturale" non in senso letterale, per alludere al fatto che noi abbiamo un senso piuttosto spiccato del "naturale" e dello "artificiale", al punto di provare meraviglia quando un oggetto di una categoria "sembra proprio" appartenere all’altra. Si possono spendere molte parole, e molti pensieri, nel tentativo di dare una definizione dei due aggettivi. Sicuramente il vocabolario, raccolta di grandi verità, ci sarà poco utile. Dire che artificiale è ciò che risulta fatto dall’uomo e naturale ciò che è fatto senza l’intervento dell’uomo ci dice assai poco sulla natura intrinseca del problema. Semplicemente lo sposta: perché l’uomo fa oggetti "artificiali"? Dove e in che cosa consiste il suo fare oggetti che si distinguono da quelli fatti senza di lui? Qual è il rapporto tra manufatti e natura? In cosa consisterebbe "l'imitazione della natura" che secondo una concezione classica (e volutamente ambigua) sarebbe la sostanza stessa dell'attività delle diverse arti?

Se parliamo di musica, non c'è dubbio che essa sia un artefatto. Se parliamo di suoni, quello di un violino è indubbiamente "artificiale", ma ancora più di lui quello di un oscillatore sinusoidale, o a dente di sega. C'è una scala di "artificialità", anzi, addirittura una precisa soluzione di continuità: il suono di un oscillatore è "artificiale" in un senso assai diverso da quello di un violino. Nel suono del violino (o nel fagotto, o nel pianoforte) si riconosce l'orma dell'uomo, nel senso che il suono possiede contemporaneamente una struttura artefatta e insieme la complessità delle cose "non-artificiali". Il suono dell'oscillatore è invece insieme "non-umano", non complesso, e "artificiale": dunque troppo prevedibile. La scala dell'umano, inteso qui come "evidentemente fatto dall'uomo" è confinata in una misura determinata di artificialità: andando troppo in là, da una parte o dall'altra, si fuoriesce verso il "naturale" o verso l'artificiale-matematico delle sinusoidi.

Se certi suoni prodotti da algoritmi suonano "artificiali" e non umani è perché mancano di questa "orma dell'uomo": sono troppo regolari, troppo "geometrici" e troppo periodici. Prodotti, come sono, di strutture matematiche elementari, sono troppo esatti e prevedibili, quindi "noiosi".

In una parola, se ci riferiamo alla definizione di Caos così come la troviamo esattamente nella teoria dei sistemi dinamici non lineari, ciò che manca a molti suoni dell'elettroacustica è proprio una certa dose di componenti caotiche, nella misura e in modo tale da rendere i suoni certamente "simili" tra loro, ma mai esattamente uguali, in modo che niente si ripeta mai due volte.

Quello che si cercherà di fare, è proprio questo: cercare di introdurre nella musica elettroacustica, e soprattutto nelle tecniche di sintesi, quell'ingrediente di Caos che è spesso mancato, più che altro cadendo nella tentazione di copiare i suoni che già esistono e duplicare esattamente le loro forme d’onda. E per fare questo non basta aggiungere un po' di rumore bianco o rosa qua e là. Bisogna penetrare un po' a fondo nei meccanismi e nei modelli del suono e degli oggetti sonori, e capire come, dove e quanto il caso deve esercitare il suo ruolo.

Come nella teoria del Caos, anche qui l'enorme aumento delle capacità di calcolo ci viene incontro. Nell'immediato futuro si avrà un salto di qualità nell'armamentario algoritmico e strumentale della musica elettroacustica, soprattutto nel campo delle tecniche in tempo reale e proprio quest’ultime spingeranno nella direzione di una musica elettroacustica eseguibile e interpretabile da un esecutore (altro elemento caotico e "orma d'uomo").

2. Circuito di Chua.

Il circuito di Chua fu un’idea dello stesso professor Leon O. Chau docente dell’università della California, Berkeley. Questo circuito si colloca all’interno di un gruppo di circuiti che prendono parte alla grande famiglia degli oscillatori caotici, cioè circuiti in grado di presentare tre requisiti minimi:

Dinamica almeno del terzo ordine, quindi almeno tre componenti dinamici indipendenti.
Almeno un componente non lineare
Almeno un componente attivo

Tutti questi circuiti si riferiscono al caos come comportamento aperiodico duraturo nel tempo delle traiettorie di un sistema deterministico che presenta dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali per le quali non raggiungono punti di equilibrio e non si chiudono in cicli limite, ma continuano a muoversi nello spazio di stato presentando oscillazioni non periodiche non determinabili a priori, questo comportamento non è dovuto a fattori forzanti esterni , ma è una proprietà intrinseca del sistema caotico. il caos rappresenta quindi una forma “ordinata” del disordine.

Tenendo ben presente questi requisiti, Chua riuscì a realizzare un dispositivo operante in regime caotico del tutto innovativo utilizzando il minor numero di componenti attivi ed integrando la parte non lineare con la parte attiva in un unico resistore negativo lineare a tratti, detto anche Diodo di Chua, che ci consentirà un’analisi notevolmente semplificata. Ecco perché ancora oggi il circuito di Chua è uno dei circuiti più usati per svariate ed interessanti applicazioni nell’ambito dell’elettronica più avanzata.

2.1 Elementi base per l’analisi circuitale

Il circuito di Chua mostrato in Fig.2.1, è un semplice circuito che esibisce una varietà di biforcazioni e di andamenti caotici. Esso contiene tre elementi di accumulazione energetica, un induttore e due condensatori, un resistore lineare e un resistore non lineare.

Figura 2.1

Prima di iniziare la trattazione vera e propria, è giusto menzionare il problema legato alla molteplicità finita delle soluzioni per un sistema adinamico contenente elementi non lineari, questo problema svanisce se prendiamo in esame un sistema dinamico che ci fornisce le informazioni mancanti per raggiungere un’unica soluzione, i punti di lavoro allora trovati sono in realtà punti di equilibrio del sistema, quei punti per i quali le variabili di stato sono costanti e cioè sono dati dalle intersezioni delle nulcline, ma dobbiamo tenere conto anche delle condizioni iniziali degli elementi reattivi, ed è in base a loro che il sistema volgerà verso una certa direzione lungo le traiettorie ed evolverà verso la stabilità o l’instabilità.

L’analisi circuitale ci porta alla definizione delle seguenti equazioni di stato:

dove:

rappresenta la tensione ai capi del condensatore

rappresenta la resistenza in serie all’induttanza, normalmente trascurata

rappresenta la corrente passante attraverso l’induttore

rappresenta la caratteristica tensione-corrente del componente non lineare

Figura 2.2

Caratteristica del Diodo di Chua.

Le zone delimitate da E corrispondono al complicato effetto di saturazione nel nostro circuito, per il quale mostrerò poi il funzionamento.Il sistema delle equazioni dinamiche si può normalizzare per comodità di analisi eseguendo un opportuno cambio di variabili ed in particolare ponendo:

Si ottiene un sistema molto semplificato normalizzato nel tempo

La caratteristica del diodo è quindi lineare a tratti e le zone di linearità nel piano (j,x) sono delimitate dalle rette x=1 e x=-1.

Guardando ora le informazioni date dall’intersezione delle nulcline possiamo avere un’idea di come volgeranno le traiettorie e quindi ricavare quali sono i punti di equilibrio del sistema. Il passo successivo è quello di fare l’analisi per piccoli segnali nei punti di equilibrio, cioè linearizzare il sistema per ogni punto trovato, e traslare in essi gli assi considerando la linearizzazione della non linearità dell’elemento non lineare. In pratica si utilizza lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 1° termine mediante lo Jacobiano del sistema, che nel nostro caso specifico risulta essere diverso per le tre zone rettilinee della caratteristica in Fig.2.2

i=-1,0,1 rispettivamente alle regioni di linearità

In questo modo lo Jacobiano diventa la matrice di stato A per il piccolo segnale e in generale sarà una funzione delle variabili di stato. Valutando A in ogni punto di equilibrio si possono così ricavare dati aggiuntivi sul tipo di equilibrio dei punti, in particolare esiste un teorema che afferma:

Teorema: Nell’intorno di un punto di equilibrio di un sistema dinamico non lineare, il tipo di comportamento del sistema linearizzato coincide con quello del sistema non lineare, a meno che non risulti che i punti di equilibrio sono iperbolici, cioè quei punti per cui almeno un autovalore abbia nulla.

Grazie a questo teorema possiamo calcolare le frequenze naturali relative ad ogni punto di equilibrio risolvendo l’equazione:

risolvendo, cioè, il polinomio caratteristico per il sistema normalizzato:

dove v=a oppure v=b a seconda della zona della caratteristica rettilinea a tratti dell’elemento non lineare che stiamo considerando.

Si nota in particolare che si otterranno per un autovalore reale e due complessi cognugati e per tre autovalori reali.

Indicando allora con gli autovalori e con i rispettivi autovettori, le soluzioni saranno del tipo:

Con costanti dipendenti dalle condizioni iniziali e punti di equilibrio per A non degenere, che nelle tre regioni valgono:

Come abbiamo già detto questo vale solo localmente, cioè solo all’interno di una stessa regione. Tuttavia se la traiettoria attraversa nel suo percorso più regioni, la soluzione si può ottenere come somma delle soluzioni calcolate separatamente nelle rispettive zone. La traiettoria seguita dal sistema partirà pertanto da un certo punto iniziale (corrispondente allo stato iniziale) seguendo l’andamento indicato dall’equazione della soluzione finchè non raggiungerà uno dei piani di confine. Infatti, quando ciò avviene, essa entra nella nuova regione con un’orbita determinata ancora dalla stessa equazione, ma in cui parametri sono dettati dalla nuova zona e il punto di partenza corrisponde con quello in cui la traiettoria attraversa il confine. Siamo quindi in grado di calcolare l’orbita ad ogni istante e partendo da qualsiasi condizione iniziale.

2.2 Realizzazione pratica del circuito.

In questo paragrafo si daranno maggiori informazioni sui modi di funzionamento del circuito di Chua, con particolare attenzione ai vari componenti che lo caratterizzano, ai rispettivi valori e alle difficoltà incontrate e superate nella realizzazione fisica del circuito.

2.2.1 Metodi di funzionamento, biforcazioni e caos.

Tratterò adesso i vari modi di funzionamento legati a questo tipo particolare di circuito e in particolare analizzerò come cambia la dinamica del sistema al variare di uno dei suoi parametri dando però ragione di tale comportamento solo in maniera superficiale senza imbattermi cioè in noiosi approfondimenti matematici. Si osservi infatti che variando R variano conseguentemente anche i punti di equilibrio delle regioni esterne della caratteristica non lineare, quindi se si volesse mantenere inalterati questi punti ciò che bisognerebbe fare è andare a modificare mantenendo costante R. Così facendo l’unico valore a cambiare nel polinomio caratteristico sarebbe , per il quale non contribuisce alla determinazione dei punti di equilibrio. Però, per esigenze costruttive, queste variazioni non sono di grande praticità, e quindi è preferibile far variare il parametro R del circuito.

Per R sufficientemente grande si ha che i punti di equilibrio delle regioni esterne sono stabili, mentre l’origine è un punto di equilibrio instabile. Avremo quindi che il sistema si porterà, a seconda del suo stato iniziale, su uno dei punti di equilibrio stabile per rimanervi indefinitamente. Se ci poniamo in qualche punto della regione interna, la traiettoria si allontanerà in modo esponenziale dall’origine in direzione delle regioni esterne dove l’effetto dell’autovalore negativo costringerà la traiettoria ad avvolgersi spiralmente nel punto di equilibrio della stessa regione.

Diminuendo R la parte negativa degli autovalori complessi delle regioni esterne diminuisce e crescerà il tempo necessario all’orbita per portarsi in uno dei punti di equilibrio stabile.

Diminuendo ulteriormente si arriva ad un valore di R per cui si ottiene la biforcazione di Hopf, in corrispondenza del quale i punti di equilibrio delle regioni esterne perdono la loro stabilità e i punti instabili del sistema passano da uno a tre. Si osserva allora che la nuova situazione che si è venuta a creare, pur modificando totalmente il comportamento delle regioni esterne, non altera quello della regione interna. L’orbita nelle regioni esterne allora segue sempre un andamento a spirale con centro il punto di equilibrio instabile, ma ora esegue un espansione e dunque ritorna nella regione interna dopo un periodo più o meno lungo. poiché l’orbita non può stare indefinitamente in nessuna regione dello spazio di fasi, si osserva un continuo cambio di regione da parte della stessa, in una situazione di questo tipo risulta difficile prevedere l’andamento globale del sistema. Dalle simulazioni all’oscilloscopio si riesce ad esibire una sequenza di biforcazioni in due dimensioni di un attrattore, mettendo come asse X e come asse Y. Questo è possibile solo se l’oscilloscopio permette la visualizzazione in X-Y Mode.

Figura 2.3

Figura 2.4

Figura 2.5

Figura 2.6

Si osserva che nella Fig. 2.3 (a) si ottiene l’equilibrio per una R=2kW cioè la traiettoria si adagia su uno dei punti di equilibrio delle zone esterne. Per R=1.88kW nella Fig. 2.3 (b) la traiettoria passa dalle regioni esterne a quella interna e da questa nuovamente in quella esterna di partenza, dando così origine ad un’orbita periodica che esegue un solo giro intorno al punto di equilibrio instabile, questo viene detto “Ciclo limite 1”. Successivamente nella Fig. 2.4 si vede l’inizio di una biforcazione di duplicazione del periodo la quale consente all’orbita di eseguire due o quattro giri attorno alla instabilità rispettivamente per i valori R=1.85kW e R=1.84kW , questi cicli vengono detti “Ciclo limite 2” e “Ciclo limite 4”. I cicli diventeranno allora 8, 16, 32 e così via fino a raggiungere, al limite, infiniti cicli dell’orbita. Questa situazione corrisponde ad uno strano attrattore, detto “Strano attrattore a spirale di Chua” che è in relazione alla Fig. 2.5 (a) con R=1.79kW. Esso rappresenta l’esempio più semplice nello spazio delle fasi di un regime caotico.

Diminuendo ancora la resistenza a R=1.74kW appaiono diversi attrattori di questo tipo separati uno dall’altro tramite zone ambigue Fig. 2.5 (b). Si osserva, cioè, che l’orbita esegue un fissato numero di giri attorno al suo punto instabile poi passa nella zona interna della linearità dell’elemento non lineare dove compie a sua volta una spirale attorno alla sua instabilità per poi ritornare nella zona di partenza. Le due spirali si uniranno pertanto nel formare questo nuovo tipo di attrattore chiamato “Attrattore Double Scroll”. Ovviamente anche quello in Fig 2.6 (a) è un’attrattore dello stesso tipo con R=1.49kW. In Fig. 2.6 (b) si osserva un largo ciclo limite corrispondente a R=1.4kW per il quale si ottiene il limite critico in cui un’ulteriore diminuzione del valore di R provocherebbe una instabilità generale del sitema che porterebbe l’orbita ad una divergenza a spirale verso l’infinito.

Si noti infine che il range di valori utilizzati è molto limitato, infatti abbiamo vari comportamenti in soli 600kW e questo fa intuire la difficoltà pratica nell’esibire tali misure.

2.2.2 Diodo di Chua.

Tra tutti i componenti che compongono il circuito di Chua, la resistenza non lineare è indubbiamente la più difficile per quanto riguarda la realizzazione, infatti dobbiamo tener conto principalmente che è un componente che presenta resistenza negativa in secondo luogo tener conto della sua non linearità.

Una realizzazione generica di resistenza negativa è data dalla Fig.2.7. Dato che si opera in regimi modesti non superiori a 24kHz, si può prendere come elemento attivo un generico amplificatore operazionale, un AD712 oppure un TL082 oppure ancora un uA741, a larga scala produttiva.

Figura 2.7

Dalla legge di Kirchoff delle correnti (KCL) al nodo N1 si ottiene che , dalla legge di Kirchoff delle tensioni alla maglia (KVL) chiusa dai N1-N3-N0-N1 si ottiene , inoltre sapendo che l’operazionale segue la legge dove A è il guadagno, posso ricavare che , e sostituendo nella formula trovata la KCL ricavo che per A molto grande si può approssimare a , ma scegliendo si ottiene finalmente la nostra resistenza negativa .

In pratica però le cose non vanno così bene per un semplice motivo fisico: nessun dispositivo reale può erogare energia indefinitamente. Nel nostro caso la limitazione cade sull’operazionale il quale se ha una piccola rispetto alla tensione applicata non è in grado di rispondere correttamente alla richiesta di corrente, al contrario se e sono troppo grandi la tensione in uscita dall’operazionale risulterebbe inaccettabile, inoltre se ne corrente ne tensione sono regolate si possono avere anche problemi di potenza. Procediamo allora allo studio della avvenuta saturazione del nostro operazionale tenendo conto della sua caratteristica.

Figura 2.8

Una volta in saturazione la tensione all’uscita del operazionale rimane fissata alla tensione Esat e la corrente nel dipolo non lineare sarà pari a I=(V-Esat)/ che non è niente altro che la caratteristica tensione-corrente di una resistenza positiva traslata. Si noti la regolazione della tensione di offset che è in relazione alla simmetria delle orbite disegnate dal circuito di Chua. In definitiva la caratteristica reale sarebbe:

Figura 2.9

Dove

Se si volesse indagare su quanto pesa la limitazione in potenza ci si accorgerebbe che siamo sotto al valore necessario, per ovviare questo problema si può mettere in parallelo due elementi attivi non lineari come mostrato in figura:

Figura 2.10

Osserviamo infatti che, fintanto che gli operazionale lavorano in zona attiva, il dispositivo si comporta come se avesse due resistenze negative in parallelo e quindi vedrà:

Quando però un primo operazionale satura, cioè quando:

allora la conduttanza vista in ingresso verrà modificata ed in particolare:

Infine se entrambi gli amplificatori sono saturi si avrà:

In modo analogo si procede per la tensione negativa che è in modulo uguale a quella positiva dato che i livelli di saturazione sono duali, così facendo arriviamo ad una caratteristica nuova del diodo di Chua che presenta due pendenze negative e una positiva che sono conseguenze della fisicità del dispositivo come detto prima.

Figura 2.11

Dove: e oppure viceversa.

2.2.3 La costruzione.

Questi tipi di circuiti non sono molto difficili nella loro realizzazione grazie al fatto che presentano un numero limitato di componenti e quindi sono più soggetti ad una costruzione del prototipo su able-board o millefori piuttosto che su una basetta di bachelite e rame, che richiederebbe notevole impiego di tempo. Ciononostante, bisogna sempre fare attenzione a mettere i componenti nelle giuste connessioni per non causare danni ai componenti stessi o anche solo grattacapi di mal funzionamento non compresi nell’immediato. Un aspetto positivo di questa realizzazione è il fatto che si lavori a frequenze audio, questo ci permette di ascoltare il segnale e di renderci subito conto dei cambiamenti fatti ai valori degli elementi che costituiscono il circuito. Dobbiamo però dire che per alte frequenze il circuito presenta capacità parassite che sono molto difficili da modellare da un semplice studio teorico.

Essendo un circuito molto sensibile alla variazione di valori delle parti, dobbiamo anche giocare attorno ai parametri che mostrerò di seguito.

Il condensatore C₁ necessita di una giusta regolazione sia che dia la capacità di trovare il componente con quel determinato valore in un qualsiasi negozio di elettronica sia che sia compatibile con i parametri che permettono di realizzare il giusto funzionamento per il nostro circuito. Certamente più semplice è montare un condensatore variabile, purtroppo però non viene più utilizzo a livello commerciale, ma lo si può trovare in alcune radio di qualche anno fa.

Un’altro componente che merita una certa attenzione è l’induttanza la quale, se pur presente nei negozi di elettronica, non riesce spesso a soddisfare le nostre esigenze. Infatti essa presenta sempre una resistenza in serie anche se pur piccola, basta pensare alla realizzazione di questo componente, cioè semplice filo avvolto. Sfogliando un qualsiasi catalogo di componenti in commercio si può notare che una induttanza pari a 18mH presenta una resistenza di circa 100W che molte volte non permette l’innesco dell’oscillazione. La soluzione più adottata è quella di usare o il circuito di Antoniou o, più semplicemente, un condensatore in cascata ad un giratore, il quale trasforma la capacità del condensatore in una induttanza del valore desiderato con resistenza praticamente nulla. Per la nostra applicazione, comunque, prenderemo una semplice induttanza da 18mH trovabile in commercio, ed andremo a modificare i valori degli altri componenti per attivare l’oscillazione cercata. La formula per la costruzione di un’induttanza senza traferro è:

[mH]

dove: D= diametro dell’induttore [cm]

l= lunghezza induttore [cm]

N= numero di spire

K= fattore di correlazione di Nagaoka

Per quanto riguarda l’operazionale usato non ne esiste uno in particolare ma forse quello che si adatta meglio alle nostre esigenze è il AD712 della Analog Devices Inc., il quale presenta due OpAmp senza i rispettivi morsetti per la regolazione dell’offset il quale è già tarato, e questo ci garantisce una messa a punto più facile per i problemi di simmetria ad essi associati. Le stesse doti si possono trovare anche nel TL082 della ST Microelectronics. Riferimento agli appendici.

Le resistenze associate alla parte non lineare, R₁, R₂, R₃ e R₄ devono essere anch’esse fortemente considerate in quanto devono tarare la curva del resistore attivo, quindi dovremmo utilizzare valori di resistenze di grande precisione. Il valore delle altre resistenze presenti nel circuito è meno cruciale, quindi sono più che sufficienti resistenze di largo consumo.

Risultato finale delle nostre strategie usate sino ad ora ci portano al seguente circuito di Chua:

Figura 2.12

I rispettivi valori della componentistica sono riportati nella Tabella 2.1. In addizione a questi componenti si raccomanda di collegare a ridosso di ogni generatore di alimentazione una capacità di almeno 0.1mF, lo scopo è quello di mantenere il generatore ad una fissa tensione diretta.

Elemento	Descrizione	Valore	Tolleranza
	OpAmp ( ½ AD712, TL082 o equivalenti )
	Resistenza ¼ W	220W	±5%
	Resistenza ¼ W	220W	±5%
	Resistenza ¼ W	2.2kW	±5%
	OpAmp ( ½ AD712, TL082 o equivalenti )
	Resistenza ¼ W	22kW	±5%
	Resistenza ¼ W	22kW	±5%
	Resistenza ¼ W	3.3kW	±5%
	Condensatore	10nF	±5%
	Condensatore	100nF	±5%
	Potenziometro	2kW
	Induttore ( TOKO tipo 10RB o equivalente )	18mH	±10%

Tabella 2.1

2.3 Simulazione del Circuito di Chua.

Dopo aver mostrato le possibilità di funzionamento del circuito di Chua attraverso un’approfondita analisi teorica e pratica, condotta in termini ideali e non, ci accingiamo ora ad analizzare una serie di simulazioni al calcolatore eseguiti con PSpice Student Version 9.1 della OrCAD e a confrontare i risultati ottenuti con quelli sperimentali eseguiti sul prototipo mostrati in precedenza.

Gli amplificatori nel circuito possono essere utilizzati usando le “macro-model” le quali sono messe a disposizione dalle case costruttrici per i più famosi software in circolazione che danno tutte le caratteristiche di funzionamento del dispositivo. La Student Version non mette a disposizione un gran numero di integrati, ma al sito web della Analog Device, si trova tutto l’occorrente per creare tramite il PSpice model editor la libreria che ci serve, sia per lo Schematics sia per lo PSpiceAD, i quali sono rispettivamente il programma che permette di creare lo schema elettrico del circuito e quello che permette di eseguire la simulazione vera e propria di esso. Per quest’ultimo però si è riscontrato un problema di sovratensione dell’uscita del componente che restituiva un potenziale di qualche kiloVolts, si è dovuto allora andare a scaricare direttamente tutta la libreria dei componenti dell’Analog Devices al sito http://www.pspice.com/ dove si è estrapolato solo il componente necessario, perché la Student Version non permette di inserire librerie con più di 20 dispositivi. Dopo queste difficoltà iniziali si è passato alla costruzione dello schema elettrico, incorporando per ogni elemento il suo valore di funzionamento rif: Fig. 2.12 con Tab. 2.1.

Si passa ora alla simulazione, prima del dispositivo non lineare ad un OpAmp, successivamente a quello con due OpAmp e infine al circuito di Chua per i vari valori della resistenza R.

2.3.1 Diodo di Chua.

La simulazione di questo dispositivo non richiede grande abilità nell’uso di Spice. Necessita però qualche accorgimento di tipo elettrotecnico. Analizziamo subito il circuito di Fig. 2.7. Per simulare la rete non lineare si è pensato di mettere ai capi di essa un generatore di tensione nulla, in quanto la simulazione permette di far variare un generatore nel circuito a piacimento ”DCSweep”. Dopo un delicato controllo di errori dello schema si è passato a fare il settaggio dell’analisi, impostando la tensione del generatore V variabile tra –6.7V e 7.2V incrementando di 0.001 il valore per avere un’ottima risoluzione del grafico.Sullo schema intanto si andato a posizionare alcuni indicatori di variabili le quali verranno visualizzate alla simulazione, nel nostro caso facendo variare la tensione, andremo da osservare la corrente che il generatore fornisce, facendo presente che il dispositivo da noi usato è attivo e che quindi ci fornirà corrente, di conseguenza la corrente che osserveremo sarà uscente dal dispositivo. Dopo aver preso i dovuti accorgimenti si avvia la simulazione che apre automaticamente lo PSpice AD. Questo programma fornisce di un gran numero di informazioni riguardanti il circuito ma si considerà solo la parte grafica. Il risultato riportato in Fig. 2.13 ci mostra la perfetta linearità della caratteristica tensione-corrente del diodo di Chua anche se nel dettaglio si può notare chenon si ha perfetta simmetria del dispositivo per la quale non è possibile settare la tensione di offset.

Figura 2.13

Lo zoom intorno all’origine degli assi (evidenziati in rosso) ci permette di osservare che la corrente è pari a circa –501nA quando la tensione ai capi del resistore non lineare è zero.

Aumentando un po’ il range di lavoro del generatore di tensione, cioè facendo lavorare il circuito tra –7.7V e 8.3V, si visualizzano sul grafico della caratteristica i problemi dovuti alla saturazione dell’operazionale, come ci aspettavamo d’altronde dall’approfondita analisi teorica del dispositivo:

Figura 2.14

Ora si inizierà a simulare il circuito di Chua di Fig.2.10 con due sistemi non lineari in parallelo. Al circuito precedente è stato aggiunto cioè un dispositivo non lineare identico che lavora però con tensione di saturazione dell’operazionale diversa, questo è dovuto ai diversi valori delle resistenze che lo compongono. Si Esporrà dunque solo la parte interessante dell’andamento della caratteristica, dato che i commenti necessari sono stati espressi nella presentazione passata.

Figura 2.15

Figura 2.16

Nelle figure si nota ancora la quasi perfetta linearità del dispositivo, in particolare, nella Fig.2.16(a) si nota la curva dell’entrata in saturazione della caratteristica lineare a tratti che si esaurisce in soli 80mV, nella Fig.2.16(b) si nota invece il raccordo tra la caratteristica dei due dispositivi quando uno è nella zona di lavoro e l’altro è entrato già in saturazione. In conclusione si ottiene un’ulteriore dimostrazione che lo studio teorico eseguito in precedenza considerando la caratteristica come lineare a tratti era sufficientemente preciso.

2.3.2 Oscillatore di Chua.

Nei paragrafi precedenti sono stati mostrati gli andamenti reali e tipici del circuito di Chua in Fig.2.12 seguendo la sequenza di biforcazioni al variare della resistenza R, quelle stesse immagini sono state anche ricavate direttamente dalla simulazione utilizzando sempre i parametri dati dalla Tab.2.1, questo strumento di analisi conferma l’affidabilità anche nell’ambito dei sistemi caotici. Essendo un circuito del terzo ordine, si poteva collocare in un grafico 3D le tre variabili, ma la Student Version di PSpice non permette questo tipo di visualizzazione, quindi si esprimeranno i risultati su grafici bidimensionali. Le variabili in gioco sono:

V(N1) tensione ai capi del condensatore

V(N2) tensione ai capi del condensatore

I(L1) la corrente attraverso l’induttore L

Per simulare questo tipo di circuito oscillante si deve settare diversamente dal caso precedente l’analisi dello Schematic, infatti non necessitiamo più di alimentazione esterna, quindi dobbiamo riferirci sempre all’andamento nel tempo delle variabili “Transient” e, per vedere l’andamento delle traiettorie, da PspiceAD in seguito si deve esprimere una variabile in funzione dell’altra.

Si notino i valori qui accanto per l’analisi che esprimono rispettivamente da dove inizia il programma con la simulazione e a che istante finisce. E’ interessante sapere anche che questa analisi è esprimibile anche in termini di trasformata di Fourier, che si provvederà più avanti a darne il giusto peso.

Si inizia subito con la trattazione del caso con R=2KW, in questa situazione si nota che tutte le variabili dopo un più o meno lungo transitorio si stabilizzano su valori prefissati. Questo vuol dire che questo circuito è asintoticamente stabile. Ma nella trattazione questo è di non rilevante importanza. Più interessante infatti è il caso di quando diminuiamo R, infatti i tempi dei transitori si allungano sempre più fino ad avere un movimento oscillatorio di tutte le variabili. Guardando le traiettorie da R=1.88KW in poi a diminuire si ottengono dei Cicli Limite di vari ordini come spiegato in precedenza fino ad arrivare a R=1.79KW per il quale si ottiene un ben definito andamento caotico, anche se pur semplice, Fig.2.17 (b) (c) (d). Nell’andamento temporale il verde rappresenta V(N1), il rosso V(N2) e il blu I(L1), ma quest’ultimo non si riesce ad individuare per il fattore scala delle tensioni.

Figura 2.17

Nella Fig.2.17(a) è mostrato l’andamento nel tempo delle variabili, nella (b) l’andamento di V(N2) in funzione di V(N1), nella (c) I(L1) in funzione di V(N1) e nella (d) I(L1) in funzione di V(N2). In questo modo con un po’ di immaginazione si riesce ad ottenere un grafico 3D dell’andamento caotico. Per semplicità di espressione i colori rimarranno associati alle variabili nelle rispettive funzioni, funzione rossa per il piano [V(N1),V(N2)], funzione blu per il piano [V(N1),I(L1)] e funzione gialla per il piano [V(N2),I(L1)].

Diminuendo ancora la resistenza fino a R=1.74KW si ottiene l’andamento Double-Scroll per il quale si ottiene un andamento temporale delle variabili periodico come mostrato in Fig.2.18

Figura 2.18

Questo andamento si manterrà, al diminuire della resistenza, sfoltendo sempre più i passaggi tra una zona e l’altra di instabilità provocando in uscita su asse temporale andamenti delle variabili interessanti che si analizzeranno più avanti. Decrementando R fino al valore di R=1.4KW avremo un unico grande ciclo oltre alla quale le traiettorie del sistema divergerono, ma non all’infinito ovviamente ma fino al valore massimo della tensione fornita dalla rete non lineare attiva.

Figura 2.19

Si noti che in questo esempio l’asse temporale non è stato come al solito tra 0 e 50mSec ma tra 0 e 10mSec dato che il circuito presenta un transitorio molto ridotto rispetto agli altri andamenti. Un’altra cosa da notare è l’andamento sempre più sinusoidale delle variabili nel tempo, in particolare l’evoluzione di V(N1) e V(N2) tenderà ad essere la stessa, ma senza mai raggiungere l’uguaglianza totale neanche per R piccolissime dell’ordine dei mW per la quale l’andamento della differenza presenta brusche oscillazioni anche se pur di piccole intensità dell’ordine dei mV.

Attraverso tutte queste simulazioni è inoltre possibile osservare quello che accade durante il transitorio iniziale. In riferimento a questo infatti si era osservato nell’analisi teorica che lo stato iniziale è un elemento fondamentale nel determinare attorno a quale punto di instabilità si avvolgeva la traiettoria per tutti gli andamenti circuitali. In questo caso si era preso come stato iniziale delle tre variabili il valore nullo.

In conclusione si può dire che quello espresso fino ad ora coincide con quello studiato, sviluppato però in termini più ingegneristici andando a vedere in dettaglio le situazioni particolari viste in precedenza con generica approssimazione.

2.3.3 Note su PSpice.

Il programma PSpice è il programma realizzato per la simulazione di circuiti elettronici con il calcolatore, progettato inizialmente per la sola simulazione analogica, ha subito una graduale evoluzione fino a consentire la simulazione mista, analogica e digitale, e a lavorare sotto ambiente Windows. PSpice è in grado ora di analizzare il comportamento di un circuito valutando tensioni, correnti e forme d’onda nei nodi, possono inoltre essere elaborate anche grandezze più complesse come potenza e risposte in frequenza. Con questo programma si ha a disposizione, in pratica, del prototipo del circuito che si sta progettando sul quale si possono fare le stesse misure che si farebbero sul modello di prova vero e proprio.

I file più importanti per questo programma sono:

PSPICE.EXE file del simulatore.
SETUPDEV.EXE file per la configurazione delle periferiche, è anche usato per convertire schemi dalle vecchie versioni a quella che si sta adoperando.
PROBE.EXE file che permette la visualizzazione a video dei risultati.
*.LIB file di libreria che contengono la descrizione dei componenti che vengono utilizzati nel corso della simulazione.

La simulazione con PSpice è possibile se in precedenza è stato scritto, secondo una certa sintassi, un file di descrizione del circuito di cui si vuole simulare il comportamento. Il file sorgente o netlist può essere scritta tramite un editor qualsiasi di testo, ma deve avere estensione “*.net”. Questa che segue è la netlist per PSpice relase 2G6, come già detto, questo file serve per implementare il circuito nel programma di simulazione Probe.

MODEL1

V+ 111 0 DC9 *definizione dei nodi di alimentazione

V- 0 222 DC9

L 1 10 0.018

RL 10 0 13.5 *resistenza in serie all’induttore

R 1 2 1800 *valore impostato per avere il Double-Scroll

C2 1 0 100.0N *N vuole dire nanoFarad

C1 2 0 10.0N

XA1 2 4 111 222 3 AD712 *parte non lineare

R1 2 3 220

R2 3 4 220

R3 4 0 2200

XB2 2 6 111 222 5 AD712 *parte non lineare

R4 2 5 22000

R5 5 6 22000

R6 6 0 3300

*OpAmp AD712 macro-model è disponibile dall’Analog Devices Inc.

.WIDTH OUT=80

.IC V(2)=2.0 V(1)=0 *condizioni iniziali dei condensatori

.TRAN 0.01MS 100.0MS 80.0MS *calcoli nel tempo transitorio

.PRINT TRAN V(2) V(1) *traccia le soluzioni

.PLOT TRAN V(2) V(1) *stampa le soluzioni a monitor

.END

Si è riporta la netlist di questa sola versione in quanto, tra le tutte, è quella che risulta più semplice a livello intuitivo e visivo, infatti si nota l’estrema facilità nel tradurre il circuito direttamente da schema elettrico a netlist per Probe senza disegnare il circuito stesso nello Schematics, Fig.2.12.

3. Applicazioni del circuito di Chua in ambito musicale.

In quest’ultimo capitolo si cercherà di legare quanto detto fino ad ora, fondendo insieme teoria, simulazione e pratica, mostrando gli aspetti più interessanti delle applicazioni del circuito di Chua nel campo musicale a livello della vera e propria generazione e sintesi del suono.

3.1 Caratteristiche sonore e musicali.

Come già detto, l’enorme varietà di classi di attrattori che si possono realizzare dal circuito di Chua fa’ di questo circuito un’eccellente candidato per un generatore universale di segnale standard. Si vuole studiare ora queste proprietà in un contesto di sintesi sonora e composizione musicale. La sintesi sonora è un campo di ricerca per compositori che implica il disegno di strutture sonore a livello microscopico. La preoccupazione per il progetto a quei livelli è riprodotta dall’interesse dei compositori per le potenziali informazioni audio che essi possono dare. I compositori studiano e sviluppano capacità di sintesi sonora come modi per riprodurre strutture comprensibili nel ambito sonoro. Un secondo campo di ricerca è la realizzazione di modellati suoni provenienti da strumenti musicali esistenti. La comune preoccupazione della sintesi e della composizione è la generazione di microscopici eventi i quali contribuiscono ad un modello audio macroscopico.

Le caratteristiche informative del suono sono in strettamente associate alla struttura e al comportamento dinamico dello spettro in frequenza del suono stesso, includendo il numero e la distribuzione dei picchi e i loro contorni, e la velocità e la relativa periodicità dei loro cambiamenti sul tempo. Le applicazioni musicali di questi segnali confidano su queste proprietà per codificare complessi messaggi, ma molti di questi segnali esibiscono comportamenti non lineari i quali hanno forme d’onda complesse. Il circuito di Chua ha una notevole capacità di produrre suoni con le caratteristiche richieste che sono difficili da generare usando i metodi di sintesi tradizionali, ed è per questo che questo circuito fornisce un radicale ed innovativo approccio alle applicazioni sonore, basato sul controllo di attrattori caotici.

3.1.1 Analisi spettrale.

Nello studio di circuiti caotici l’analisi dello spettro di potenza viene preso molto in considerazione sopratutto nell’ambito musicale. Un segnale caotico infatti presenta uno spettro di potenza continuo all’interno di una certa banda di frequenze. Nell’esposizione che seguirà si terra conto quasi esclusivamente della sola variabile di stato V₁, ciò al fine di non appesantire eccessivamente la presentazione, difatti ragionamenti analoghi si possono applicare anche alle altre variabili V₂ e I₃ che daranno conferma di quanto detto per V₁ eccetto per piccole sfumature. Si seguirà l’andamento espositivo dei paragrafi 2.2.1 e 2.3.2 cioè iniziando con il diminuire del valore di R partendo da quello tale da far risultare il sistema stabile. In questo caso è banale osservare che il segnale V₁ sarà costante e quindi il suo spettro sarà caratterizzato solo da un grande picco posto all’origine, la cui ampiezza eguaglierà la potenza del segnale stesso. Passiamo a considerare una situazione più interessante, quando cioè osserviamo nello spazio delle fasi il Ciclo Limite 1, come già visto si ottiene un andamento periodico della nostra variabile che apparentemente raffigura una sinusoide, difatti non può essere una sinusoide pura in quanto si dovrebbe avere nello spazio di fase un andamento perfettamente ellittico delle variabili V₁ e V₂, e invece si ottiene un’ellisse che piega leggermente il suo piano orbitale, Fig.2.17(b), in modo da far risultare un andamento temporale della variabile come una sinusoide ma schiacciata ai picchi, Fig.3.1(a). Dallo spettro, eseguito tramite la FFT, ci si aspetta quindi un picco ampiamente dominante alla frequenza della “sinusoide” più le altre componenti armoniche e spurie di minuscole entità che tengono conto appunto dell’andamento non perfetto del segnale, Fig.3.1(b) nel quale si noti l’asse delle tensioni in rappresentazione logaritmica. A rigore si deve anche considerare la componente continua la quale, pur avendo un’ampiezza elevata dell’ordine del picco principale se non superiore, è di scarso interesse pratico in quanto rappresenta la componente continua del sistema.

Figura 3.1

Si vuole approfondire meglio ora l’influenza della frequenza di oscillazione sulla trattazione dei circuiti caotici di questo tipo. Alcuni docenti come T.Matsumoto, C.Karhlert, S.H.Strogatz, per citarne qualcuno, affermano senza giustificare che questa frequenza si aggira attorno al valore di:

L.Chua ha però dimostrato sperimentalmente che per il suo circuito si ottiene una frequenza di oscillazione pari a 3KHz, più precisamente 2.71KHz dalle simulazioni, ciò è in netto contrasto con la formula precedente la quale prevede per lo stesso circuito un valore di circa 3.75KHz. Si deve sottolineare allora il fatto che la formula rappresenta una strada comoda in quanto fornisce in maniera semplice l’ordine di grandezza del parametro, ma risulta una misura totalmente inaffidabile al fine di un’analisi quantitativa del sistema. Però questa formula ci fa notare, anche se in modo non attendibile, che la frequenza di oscillazione della tensione è in inversamente proporzionale al valore di L e C₂, questo è di grande importanza nell’applicazione musicale in quanto variando solo due parametri del circuito si riesce a modificare la frequenza del segnale audio senza modificarne l’ampiezza come vedremo in dettaglio nei prossimi paragrafi. Si passa ora ai Cicli Limite di ordine superiori che si ottengono decrementando, al solito, la resistenza R, in queste simulazioni si nota che la variabile V₁ è ancora sinusoidale solo che, a differenza del caso precedente, i picchi positivi e negativi non sono più tutti uguali, si presenta infatti un’alternanza di picchi alti con picchi bassi, Fig.3.2(a). Il segnale avrà una rappresentazione spettrale con il picco principale in corrispondenza della frequenza di oscillazione della sinusoide e un picco di intensità dimezzata che tiene conto della periodicità del segnale stesso, questo per il caso di Ciclo Limite 2. Per gli altri si otterranno un numero di picchi sempre maggiori a frequenze che sono sottomultipli di potenza di due della fondamentale, Fig.3.2(b), e il cui valore decresce sempre più in modulo fino a confondersi, ad un certo punto, con le componenti spurie del segnale stesso.

Figura 3.2

Quando la spirale di Chua collide invece con la sua immagine si ottiene lo strano attrattore di Chua a doppia voluta, allora l’andamento temporale sarà ancora oscillatorio con “balzi” di tensione e l’andamento dello spettro presenterà la frequenza fondamentale, dove avrà il suo massimo, con le armoniche e le componenti spurie quasi a formare un spettro continuo, Fig.3.3.

Figura 3.3

Ciò che risulta è un notevole aumento delle componenti spettrali a bassa frequenza causato probabilmente dalle fluttuazioni continue del segnale fra le regioni esterne. All’estremo della totale instabilità del sistema si può notare che l’andamento spettrale con una serie di picchi principali di pari intensità tra le frequenza fondamentale e la continua, tali picchi non saranno così puliti come i precedenti, in quanto ora il segnale si presenta in modo abbastanza complesso pur rimanendo periodico.

Figura 3.4

Per concludere l’analisi ci manca da osservare la condizione critica, ovvero quando il sistema diventa instabile e l’orbita si allontana verso l’infinito eseguendo una traiettoria a spirale. Ovviamente la traiettoria non andrà verso l’infinito ma, come già detto, si stabilizzerà su un’orbita particolare, Fig.2.19(b), e il suo spettro presenterà oltre alla frequenza fondamentale altre repliche quasi perfette di sempre più bassa intensità. Fig.3.5.

Si nota inoltre che l’andamento sia nel tempo che nelle frequenze risulta, per così dire, più pulito, che nel caso visto in Fig.3.2, ossia si ottiene una forma d’onda più simile al caso estremo di ciclo limite di ordine zero senza avere quel notevole rumore aggiunto che causa lo sporcamento del segnale stesso. I picchi secondari sono dovuti al solito alla periodicità del segnale medesimo. Questo fatto potrebbe essere ritenuto importante nel caso di forme d’onda musicalmente semplici come per esempio il suono del violino.

Bisogna notare ancora la diversa ampiezza della forma d’onda che in questo caso varia tra i –8,3V e +8,3V e nel caso precedente tra +1V e +5V, questo è dovuto all’entrata in piena saturazione del dispositivo non lineare.

Figura 3.5

3.1.2 Topologia del suono.

Una proprietà già ampiamente discussa è il fatto che circuito di Chua è un potenziale generatore di caratteristiche, queste caratteristiche sono studiate in precise regioni dove le variabili hanno dei precisi transitori verso i punti fissi del sistema. La durata per raggiungere questi punti fissi definirà la forma del suono e il transitorio definirà il timbro. Come forma del suono si intende dire il modello fisico associato al quella distinta forma d’onda che rispecchia determinate e specifiche qualità, che sono possibili modificare con la semplice regolazione della resistenza R nel modo visto ampiamente in precedenza, e come timbro si intende quella sonorità, quel carattere, quel colore soggettivo che ha un suono complesso. Il timbro dipende dalla struttura armonica, ossia dipende dall’intensità e dalla frequenza delle componenti di frequenza multiple della fondamentale, ma dipende anche dall’andamento temporale delle singole armoniche, in particolare dal transitorio iniziale. Nel dettaglio si nota che le condizioni iniziali diventano importanti proprio perché determinano l’andamento di questo momentaneo movimento del segnale che a seconda del sua posizione fa’ generare al circuito di Chua dei differenti timbri. Possiamo avere notevoli variazioni del timbro di un segnale anche con la modifica della caratteristica non lineare propria del circuito, Fig.2.15. Infatti possiamo, oltre a far variare l’andamento degli spigoli di essa andando a modificare il livello di saturazione di un OpAmp, anche ad andare a modificare la simmetria di questa caratteristica apportando una variazione alla tensione di alimentazione degli stessi OpAmp, magari riportando una tensione V+=+4V e una V-=-10V. In questa maniera spostiamo i valori dei break-points di tutti e due gli operazionali, aumentandoli da una parte e diminuendoli dall’altra. Questa asimmetria della funzione della rete non lineare è essenziale per la generazione di un suono simile a quello di un fagotto, mentre la simmetria fornisce un suono che è più simile a quello di un clarinetto.

3.1.3 Esempio di suono dal circuito di Chua.

Si utilizza per questo esempio una caratteristica non lineare asimmetrica come definita in precedenza, i tipi di suoni stabili ricavati sono caratterizzati da strumenti musicali cavi a doppia canna, come il fagotto o l’oboe, aventi due membrane oscillanti poste una in contatto all’altra. La caratteristica non lineare infatti porta ad un circuito oscillante per il quale una qualsiasi variazione della resistenza R non darà mai un attrattore Double-Scroll, la sua traiettoria raffigurerà al più un Ciclo limite di ordine N, Fig.3.6(a), oppure un LLC (large limit circle), Fig.3.6(b).

Figura 3.6

L’andamento temporale della variabile V₁, quindi, o sarà convergente al un punto di equilibrio del sistema dopo un più o meno ampio transitorio per valori di R>2kW, oppure oscillerà regolarmente e periodicamente con diverse forme d’onda dando luogo così a suoni con timbri differenti per valori di 1.7kW<R<2kW, Fig.3.7(a), oppure ancora potrà stabilirsi su valori già visti in Fig2.19(a) che però non hanno particolare interesse.

Figura 3.7

Nella Fig.3.7(b) si può notare un ingrandimento del segnale accanto generato Fig.3.7(a) tarando la resistenza a R=1.822kW che equivalente ad un suono sui 69Hz che corrisponde ad un DO# nella seconda ottava, C^#2 , in questo modo si osserva che nell’andamento temporale ci sono picchi forti di ampiezza che corrispondono alla frequenza fondamentale e picchi più deboli che corrispondono alle sue repliche. Queste sono caratterizzate da una forma d’onda che riflette la naturale spirale dell’attrattore avente un numero di periodi vicino o uguale al numero di ampiezze e seguite da una più alta ampiezza che rappresenta il ciclo più largo e che determina il rientro dell’attrattore al ciclo iniziale. Nella figura accanto si è voluto mostrare, con Windows Media Player, il reale andamento del segnale musicale, corrispondente anch’esso ad un DO# alla seconda ottava di un vero fagotto che non discosta poi molto dal segnale generato dal circuito di Chua in Fig.3.7(b). Infatti oltre ad avere lo stesso tipo di forma d’onda hanno anche gli stessi numeri di picchi, ampi e ridotti, che determineranno un suono ben preciso nella scala musicale delle note, però si deve prendere nota che il segnale generato artificialmente è molto più pulito, cioè è ancora troppo regolare, ma nonostante questo la differenza all’udito non è enorme anche se comunque notevole.

Al variare di R, come già menzionato, si ottengono suoni di tonalità diversa dovuti a molti fattori tra cui il cambiamento del numero di picchi presenti, questo farà cambiare la frequenza del suono stesso e genererà una nota diversa. Se ora ad ogni valore di R si riesce ad associare una determinata nota musicale dello strumento reale, si è in grado di generare una scala di toni e quindi di realizzare uno strumento completamente artificiale che è in grado di produrre per ogni switch premuto un tono diverso come è mostrato nella figura seguente.

Figura 3.8

3.2 Sintesi sonora.

Il sistema sviluppato da Chua è stato usato come modello di strumenti fisici per la sintesi sonora perché può produrre in determinate regioni dello spazio dei parametri alcuni comportamenti caotici molto interessanti relazionati all’instabilità delle soluzioni periodiche. Per una vera sintesi sonora si procede quindi verso il controllo di questi comportamenti caotici derivanti dai modelli fisici reali.

3.2.1 Rumore contenuto nel segnale.

Il rumore è presente in ogni segnale musicale, nel passato sembrava che un suono rumoroso non potesse essere alcun suono musicale, ma con grande sorpresa si è trovato il contrario: questi segnali esibiscono molte interessanti proprietà come la purezza percepita dai picchi o un intermittente tipo di comportamento. I compositori sono consapevoli adesso che il rumore è un’importante aspetto del segnale musicale. Nelle prestazioni degli strumenti musicali, piccole quantità di rumore possono essere introdotte intenzionalmente per aggiungere colore e calore al suono, in modo tale da caratterizzare uno strumento con un unica impronta acustica che si può notare matematicamente dalla forma del suo spettro o dall’onda del suo andamento nel tempo.

Con l’oscillatore di Chua si è in grado di aggiungere rumore ai suoni armonici prodotti, grazie alla sua particolare realizzazione, i quali sono strettamente legati alla transizione caotica del sistema. Si vedrà in seguito che la produzioni di alcuni tipi di suoni presenta una eccessiva ampiezza del rumore il quale darà luogo a disarmonici effetti acustici e allora si adotterà una particolare modifica al circuito senza alterare le notevoli proprietà.

3.2.2 Controllo delle variabili.

Un grande problema nelle applicazioni dell’oscillatore di Chua è il prevedibile e il riproducibile transitorio tra gli attrattori corrispondenti ai diversi parametri. A causa della sua complessa natura dello spazio dei parametri e dello spazio di stato, non si può assumere che un semplice cambiamento ad una nuova configurazione dei parametri indurrà ad una transizione verso in nuovo attrattore desiderato. In molti casi l’attrattore in cui il sistema evolverà dipende dalla sua storia precedente. Dunque si vorrebbe prescrivere tramite uno specifico andamento dei valori dei parametri un percorso determinato per convertire un attrattore in un’altro. Nel far così, è necessario che la velocità alla quale i parametri sono cambiati sia sufficientemente lenta in modo tale da non far avere al sistema ampie oscillazioni che provocherebbero la caduta nel LLC della traiettoria.

Preliminarmente i test, eseguiti da Mayer-Kress, Choi e Bargar, indicavano che i transitori tra gli attrattori dovevano essere effettuati con un tempo più lento di Dt=10ms. Uno degli effetti provocati, però, è la comparsa di frequenze di transitorio che ricordano l’effetto di scivolo che si ottiene negli strumenti a corda. Procedendo con un controllo dei parametri via computer, tramite interfaccia MIDI o seriale, si è potuto constatare che il tempo di transizione diminuiva, infatti, grazie a questo tipo di controllo, si possono far variare tutti i componenti simultaneamente, controllando così anche quelle fastidiose frequenze di transitorio.

Per le applicazioni musicali si desidera essere capaci di prescrivere specifici scopi dinamici che il sistema approssimerà. molti metodi sono stati sviluppati per ottenere tipi differenti di obiettivi dinamici. Con un metodo di controllo ad anello aperto si può aumentare la dinamica del sistema per raggiungere i propri fini, ma si può anche dar luogo ad un sistema strettamente instabile per il quale anche piccole variazioni dei parametri danno luogo all’entrata nel LLC della traiettoria delle variabili. Un differente tipo di strategia di controllo per il circuito di Chua è stato usato per stabilizzare le soluzioni periodiche degli attrattori caotici. L’idea base è quella di effettuare la differenza tra un segnale x(t) e il suo andamento ritardato nel tempo x(t-t) usando una negativa retroazione, questo tipo di controllo fa scomparire le soluzioni periodiche del periodo t. Nel contesto di musicale, questo metodo ha un effetto simile a quello di avere una coppia di generatori di oscillanti dove l’andamento principale viene amplificato e gli altri vengono soppressi. Il risultato è quello di ottenere un tono più “puro” a livello macroscopico.

Figura 3.9

Questo tipo di metodo è largamente usato nelle applicazioni musicali grazie alle sue significanti doti di incremento delle prestazioni dinamiche che rendono il circuito di Chua ancora più ricco di varietà di suoni. Questo inoltre gli permette di generare la maggior parte delle funzioni matematiche associate agli strumenti musicali semplicemente mettendo in retroazione negativa la variabile ritardata di un determinato momento.

Figura 3.10

Il fagotto è un esempio di uno strumento comunemente difficile modellare a causa delle caratteristiche complicate degli elementi non lineari che lo compongono come le labbra e il flusso d'aria tra labbra stesse quali non sono facili da misurare. Nell’esempio precedente si era tenuto conto di un andamento qualitativo della variabile, ora si è studiato il modello matematico del comportamento di questo strumento e si è trovato un sistema di cinque equazioni non lineari differenziali, nel quale le variabili sono quasi impossibili da controllare, e questo risultato è parecchio insoddisfacente. Ma se guardiamo il problema da un altro lato più pratico, possiamo notare che il fagotto o il clarinetto o la tromba presentano tutti una forma tubolare della canna che appare come una linea di ritardo con il segno invertito (Delay) e qualche sorta di filtro passabasso (H), e la base dell’andamento oscillatorio sono da ricercare nell’accoppiamento di una parte lineare passiva con una non lineare della canna, simile approccio si può usare per gli strumenti a corda, dove il ritardo proviene da onde trasversali lungo la corda. In questo modo molti strumenti musicali possono essere descritti da autonomi sistemi di equazioni differenziali ritardati che semplificano notevolmente la trattazione matematica per la costruzione dei modelli. Una delle più semplici equazioni può essere:

Generalmente la soluzione di questa equazione è stabile, ma si terranno conto solo di quelle funzioni H e G abbastanza flessibili da rendere il sistema instabile quanto basta. Si è trovato con questi accorgimenti un nuovo tipo di modello chiamato Time-Delayed Chua's Circuit, il quale è governato dalle stesse equazioni del classico Circuito di Chua, ma presenta, oltre ad un controllo più semplice, una tavolozza di timbri molto più ampia per le applicazioni musicali di qualsiasi tipo, in modo da far diventare come già detto il circuito più flessibile e più dinamico. Questo nuovo circuito approssima il più possibile l’andamento delle variabili artificiali con quelle reali generando elettronicamente dei suoni di tutto rispetto molto simili a quelli reali, tanto da essere a loro confusi, e questo è un grande successo per la sintesi del suono. Nel caso del clarinetto, Fig.3.11(a), la canna può essere considerata senza massa e la non linearità istantanea, nel caso del flauto, Fig.3.11(b), invece sembra che ci sia essenzialmente una non linearità ma due cicli di retroazione con differenti ritardi, ma nonostante questo, l’equazione vista in precedenza è ancora valida, infine nel caso della tromba, Fig.3.11(c), la canna non può più essere considerata senza massa e la non linearità non è istantanea, quindi il nuovo modello consiste in un non lineare accoppiamento di cicli di retroazioni ritardati che danno origine ad un circuito con molti gradi di complessità difficile da studiare e realizzare.

Figura 3.11

5. Appendici.

6. Bibliografia.

Il materiale il quale ho preso visione maggiormente sono stati articoli scientifici disponibili in rete presso le più famose università e centri di ricerca che eseguono studi in questo ramo:

Per quanto riguarda il simulatore si è usato oltre all’ Help on-line di OrCad disponibile al sito internet anche la guida cartacea: